材料科学正处于一个数据驱动的新变革时代，其中数学发挥了关键作用。随着大数据和人工智能的蓬勃发展，如何从复杂、高维且带有噪声的数据中提取稳定而本质的结构特征，并进一步用于材料性质的理解、预测与设计已成为当前科学研究的核心挑战之一。拓扑数据分析(Topological Data Analysis, TDA)为这一挑战提供了全新的数学方法和视角。它以持续同调这一拓扑理论工具为核心，通过持续计算长大的数据对象，追踪数据背后隐藏的全局几何特征的出生、演化与死亡，例如连通性、环、孔洞和通道等，从而提取定性、定量且稳定的结构特征。

2012 年，丘成桐等人创新性地引入了有向图的 GLMY 同调理论。该理论既为刻画方向性作用、非对称关系以及高阶互作结构提供了新的数学方法与理论支撑，也突破了传统单纯复形子面封闭条件的限制，拓展了经典同调理论的适用范围，展现出广阔的应用前景。传统 TDA 方法通常基于点云数据构建单纯复形，适用于刻画无向几何结构。然而，在许多真实材料和化学体系中，相互作用往往具有方向性和非对称性，例如化学键的方向特征、复杂催化体系中的多组分协同作用等。此时，单纯复形难以精确刻画非对称作用和复杂结构关系，而 GLMY 同调理论恰好弥补了这一不足。近年来，GLMY 同调已成为材料科学中的重要拓扑工具之一，并在生物系统、复杂网络等相关领域广泛应用。

近日，北京雁栖湖应用数学研究院（BIMSA）院长丘成桐、吴杰研究员及其团队合作，与北京大学深圳研究生院新材料学院潘锋教授及其团队，完成的综述文章《Topological Data Analysis in Materials Science: Principles, Machine Learning Integration, and Application Landscapes》正式发表在国际化学与材料交叉领域公认的顶级期刊 Chemical Reviews。此文章的发表不仅标志着“拓扑数据分析与人工智能驱动材料研究”正在发展成为材料科学与材料信息学领域的重要前沿方向，受到国际学术界的广泛关注与认可，也展现了 GLMY 理论及现代拓扑学方法对新材料研究范式的重要推动作用。

本文系统梳理了 TDA 在材料科学中的理论基础、机器学习融合方法及应用进展。文章以丘成桐等人引入的 GLMY 理论为核心，全面介绍了持续同调、GLMY 同调、广义 GLMY 同调和 Euler 特征曲线等核心拓扑理论，阐述了 TDA 如何从复杂材料数据中提取多尺度、稳定且可解释的拓扑特征，并重点介绍了相关方法在材料体系中的具体应用。在此基础上，文章进一步讨论了拓扑学习框架，以及 TDA 与人工智能方法的融合策略，系统总结了 TDA 在聚合物材料、玻璃材料、多孔晶体材料、异相催化、超离子导体等重要材料体系中的应用成果。同时，文章还展示了 TDA 在原子结构数据、分子动力学轨迹、成像数据和势能面分析中的实践价值，并将其应用拓展至分子科学与生物化学等领域。

该工作系统构建了“TDA+AI+材料科学”的理论框架与应用图谱，展示了现代拓扑学方法在材料科学中的独特优势，以及其与人工智能深度融合的发展潜力，为数据驱动材料发现和智能材料设计提供了重要的方法学指导。

聚合物材料：从微观环结构到宏观力学响应

研究对象：环状聚合物（ring polymers）体系中环与环之间的拓扑约束现象。

方法：利用持续同调分别计算单个环的持续图（PD(i)、PD(j)）以及两个环合并后的持续图（PD(i∪j)）。通过比较三者，识别“丢失点”（即合并图中消失的拓扑特征）。

关键发现：当两个环未穿透时，各自的特征点在合并图中几乎完全保留（重叠）。

当发生穿透时，其中一个环的某拓扑特征在合并图中消失，成为“丢失点”，表明该环的结构完整性被另一环的穿透所破坏。

穿透事件数量随链长增加而增长，揭示穿透在调控聚合物扩散和动力学中的关键作用。

意义：该方法突破了传统启发式判断的局限，提供了一种严格、无参数的穿透检测判据，为理解环状聚合物纠缠动力学及玻璃化行为提供了全新的拓扑视角。

多孔晶体材料：拓扑指纹实现孔几何精准量化

研究对象：金属有机框架（MOFs）等多孔晶体材料的吸附、扩散等宏观性能。

方法：Wei等提出类别特异性拓扑学习（CSTL）方法。核心创新在于将化学信息显式嵌入拓扑空间——根据元素的价电子构型和化学功能，将所有元素分为8个类别；随后为每个元素类别分别构建单纯复形并计算持续同调特征。

关键特征：CSTL 不仅量化了 MOFs 的整体孔形态和拓扑结构，更通过元素分类实现了多尺度几何-化学特征的协同捕捉，包括局域配位环境、环状结构单元和空腔分布。

意义：这解决了传统 TDA 仅依赖几何坐标、忽略原子种类化学差异的关键瓶颈。

结合梯度提升回归模型，CSTL 在多个 MOF 性能数据集上的预测精度超越了现有深度学习方法。通过特征重要性分析，该方法明确揭示出不同元素类别和拓扑维度各自对目标性能的具体贡献，极大地增强了机器学习模型在材料科学中的物理可解释性，为 MOF 的理性设计提供了明确的化学-拓扑指导。