北京雁栖湖应用数学研究院助理研究员王宇的最新研究成果 “Quantum Advantage via Efficient Postprocessing on Qudit Classical Shadow Tomography” 近日发表于国际顶尖物理学期刊 Physical Review Letters。该工作提出了一个适用于任意维量子系统（qudit）的全新阴影层析框架，表明在实验测量保持简洁的条件下，量子优势可以通过高效的数据后处理产生，为量子信息处理提供了区别于硬件提升的新路径。

背景：tr(AB) 的核心地位与经典瓶颈

在量子信息、高维数据处理以及人工智能中，计算$\mathrm{tr}(AB)$是最基础和最重要的任务之一，其中：

- A：任意有限维未知量子态（密度矩阵）

- B：满足$\mathrm{tr}(B^2)\le \mathrm{poly}(\log d)$ 的有界范数可观测量，即Frobenius 范数平方受控

这一设定涵盖量子期望值估计、可观测量测量、核方法、相似度估计等多种应用场景。

在经典框架中，即便完全知道无结构的 A 和 B，计算 $\mathrm{tr}(AB)$ 都必须处理两个 $d\times d$ 的矩阵，存储与计算需要$\mathcal{O}(d^2)$，这是高维系统的基本复杂度瓶颈。在真实量子设备中，态 A 常由量子电路生成；当电路含有大量非 Clifford“魔法”门（$T$门）时，量子态显式表达复杂，要在经典计算机上显式写出其矩阵形式往往需要超过 $d^2$ 的额外开销，使得经典方法在指数维度更为困难。

主要贡献

1. 任意维 qudit 的“稠密对偶基”（DDB）阴影层析框架

该工作提出随机DDB测量方案，突破了传统阴影层析必须依赖 Clifford 群或素数幂维度的限制，使阴影层析方法在一般维度 qudit 系统上也能统一实施。

2. 通过高效后处理实现的新型量子优势

在保持随机测量过程简洁前提下，本工作证明：

- 单次采样后的后处理复杂度在已知 B矩阵形式的情况下，可降至常数级。

- 总计算复杂度与采样次数 M 呈线性关系。 在平均意义下，采样复杂度可实现指数级降低； 在最差情形下，采样复杂度仍可获得平方根级加速。

从而形成由后处理算法驱动的量子优势。这一结果显示：量子优势并非只能来自硬件规模的提升，更可以由测量设计与后处理策略共同产生。

3. 在稳定子态与量子纠错码态上实现指数加速

论文进一步分析了在量子信息中极为重要的结构化态族，任意 n-qubit 稳定子态。这类态是线性量子纠错码（CSS 码、surface code、toric code、量子 LDPC 码等）的基础； 并在容错量子计算中发挥核心作用。在这些场景中，即使 B 的矩阵表示已知且范数受控，经典估计 $\mathrm{tr}(AB)$ 仍然可能困难，比如B是秩1的投影算符，但无法写成多项式个稳定子态叠加表示时，无法通过Gottesman-Knill定理多项式时间内模拟，导致经典算法在最坏情形下需要指数级资源。相比之下，新方案能够在这些结构化态上稳定实现指数级复杂度提升，为量子纠错与可扩展量子计算中的态表征提供新的理论依据。

更深层意义：从受控随机性中提取难以模拟的量子信息

研究揭示了一个更普遍的现象：量子优势可以来源于受控随机性与测量诱导的信息凝聚。传统量子算法多依赖固定量子电路实现根号或指数级加速。在随机化测量协议中，人们设计并执行随机酉集合 $\{U_j\}$，自然界以一次测量结果 $|k\rangle$ 作出回应。测量结果虽然随机，却保留了关于量子态的可追踪信息结构。该过程是经典难以模拟或重构的；但在阴影层析框架下，这些信息可以通过后处理被高效解码，有助于实现量子优势。该研究提出的“测量—压缩”机制与现代计算体系的发展趋势有潜在呼应：在大规模计算中，数据搬运往往比计算本身更为耗能与昂贵，通过量子方式可实现对矩阵A从$d\times d$存储资源到 $M\log d$级的压缩。这为未来设计高效、可扩展的量子数据处理方法提供了新的视角与理论基础。这一研究成果不仅深化了量子信息科学的基础理论，也为量子计算、量子人工智能以及高维数据分析等领域提供了可直接应用的高效表征与处理方法。

项目资助

该项研究获得国家自然科学基金（编号62001260、42330707）及北京自然科学基金（编号Z220002）的资助