自曼德博（Benoît B. Mandelbrot）提出 “分形” 概念以来，这一研究不规则、自相似复杂形态的数学分支，已成为连接基础数学与自然科学、工程技术的重要纽带。北京雁栖湖应用数学研究院（BIMSA）研究员倪思敏深耕分形几何领域多年，聚焦分形维数、分形测度、拉普拉斯算子谱性质等核心问题，在理论建构与跨学科应用探索中持续突破。作为丘成桐先生引领下的科研工作者，他既坚守数学研究的严谨性，又注重理论与现实的关联。本文通过梳理他的学术历程、研究成果与科研理念，展现分形几何的学术价值与发展潜力，同时呈现 BIMSA 作为国际化科研平台的学术生态。

学术初心：于严谨与挑战中锚定数学之路

1. 逻辑魅力驱动：从选择到坚守

高中阶段，倪思敏在数学与生物间做出了遵从内心挑战欲的选择——尽管生物成绩更优，但数学的逻辑自洽性与问题挑战性深深吸引着他。进入大学后，在数学物理专业的交叉学习中，他愈发感受到数学推导的严谨性与数学的美。“数学的核心魅力在于其理论体系的严密性与推导过程的美感，每一个命题的证明都需建立在严格的公理与逻辑推演之上。” 这种 “无懈可击” 的特质，让他在大学二、三年级明确了以数学研究为终身事业的方向。

倪思敏坦言，在他刚开始研究分形几何时，该领域诸多研究缺乏成熟理论框架支撑，对他的吸引力并不是很大，但经过一段时间的研究，才发现该领域和数学其他领域有着很深刻的联系，也有许多具挑战性、有趣的问题, 这些问题一直吸引着他坚守在该领域。科研之路从非坦途。“科研过程中90%-95%的时间处于迷惘与试错阶段”，但挫折并未动摇他的信念：“试错本身是对问题本质的深化理解过程，每一次失败都在缩小探索范围，直至触及核心逻辑。” 关键瓶颈突破后的学术喜悦，会迅速转化为下一轮探索的动力，形成 “迷惘—试错— 突破—新探索” 的科研循环。

2. 导师传承：塑造科研范式与态度

学术道路上，四位导师的理念与范式对倪思敏影响深远。已故博士导师刘家成教授的 “学术深耕精神” 尤为深刻——作为香港中文大学数学系主任，他被同事称为 “The 7-11 Man”（早7点至晚11点坚守科研一线），践行对数学的纯粹热爱，持续学习、深耕细分领域的执着，奠定了倪思敏严谨务实的科研态度。

在哈佛大学访问期间，指导导师丘成桐先生 “学问的渊博与育人情怀” 让他深受触动。丘先生在多个领域的开创性贡献，以及每周固定3个上午9:00-12:00时为研究生开设讨论课的投入，让他理解 “学术大师既要具备渊博知识储备，更要承担学术传承责任”。他全程参与丘先生的课程与讨论班，系统吸收了 “从经典理论出发构建新方法、从跨学科视角发现新问题” 的研究思路。

博后导师 Robert Strichartz 教授（调和分析与分形几何领域权威）与汪扬教授的 “问题导向型研究范式”，则引导他聚焦分形几何与分形分析的交叉问题，形成 “理论建构与问题解决相结合” 的研究风格。

平台赋能：BIMSA 的学术生态与协作价值

1. 选择BIMSA：学术契合与资源支撑

2024年6月，倪思敏加入 BIMSA。他表示，选择这一平台的核心逻辑是 “学术定位的高度契合与科研资源的集中性”：作为以基础数学、应用数学前沿研究为核心的科研机构，BIMSA由丘成桐先生担任院长，汇聚了包括 Yuval Peres 教授（概率与分形几何领域国际权威）在内的顶尖学者，其学术定位与他聚焦分形几何基础理论及跨学科应用的研究方向高度匹配。

更重要的是，BIMSA构建了 “多层次、国际化” 的学术交流体系：覆盖数学各分支的专题研究团队、每周常态化的 Members’ Seminar（聚焦前沿进展）与 BIMSA Colloquium（邀请国际顶尖学者分享）、一年一度的国际基础科学大会（ICBS），为科研人员提供了持续接触学术前沿、开展跨领域对话的平台。“这里的科研环境高度纯粹，且具备充裕的科研经费支持，能保障长周期、高难度基础研究开展，无需为资源限制妥协研究方向。”

2. 归国优势：科研条件的全面升级

作为归国科研潮中的一员，倪思敏深切感受到国内科研环境的优势。“现在国内科研条件更顺利，对科研的帮助更大。” 他对比美国科研经历指出，他在国内的科研经费可支持邀请合作者来访共同研究，而在美国则经费有限，多需合作者自行申请经费才能实现互访。

3. 团队协作：跨领域协同的学术价值

倪思敏强调，数学研究虽依赖个体深度思考，但团队协作的价值不可替代，另外跨领域协同同样可以激发研究者的思路和灵感。“不同研究者的知识背景（如分析、概率统计、应用数学）形成互补，能从多维度解构复杂问题；协作中的理性探讨可暴露逻辑漏洞，推动研究方法优化；最终不仅能提升研究效率，更能通过交叉验证提升成果的质量。”

学术核心：分形几何的理论突破与应用潜力

1. 本质揭秘：不规则形态的数学量化

“分形几何的核心价值，在于为自然界的不规则复杂形态提供了数学建模与量化分析的工具。” 倪思敏指出，传统欧氏几何与黎曼几何聚焦光滑、规则形态（如直线、圆、多面体），但自然界中绝大多数物体（雪花、海岸线、人体微血管、肺部表面、股票指数的走势图）均呈现 “自相似、非光滑” 特征，无法用经典几何精准描述。

分形几何通过两大核心工具解决这一问题：一是迭代函数系统（IFS），通过一族压缩映射的迭代生成复杂形态，实现对自然不规则物体的数学模拟；二是分形维数（如豪斯多夫维数、盒维数、谱维数），突破经典几何整数维限制，以非整数维量化物体的 “不规则程度” 与 “空间填充能力”。“分形维数的计算是分形几何的核心难题之一，其本质是通过测度理论建立形态与数值的对应关系，需结合数学多领域里的方法。”

目前，该领域已形成 “理论建构—量化分析—实际应用” 的完整链条：医学领域，分形维数可作为肺癌早期诊断辅助指标（不同类型肺癌的肺部表面分形维数存在显著差异），也能通过颅缝分形维数评估婴儿扁头综合症严重程度；工程领域，分形图像压缩技术凭借 “自相似性” 实现高效数据存储；金融领域，研究股票指数的重分形性质可以得出控制风险的理论； 基础科学领域，分形理论出现在数学几乎所有领域。

2. 核心研究：分形上的拉普拉斯算子谱性质

倪思敏的核心研究方向之一是 “分形测度诱导的拉普拉斯算子谱性质”。针对 “鼓面类比” 的疑问，他解释道：传统拉普拉斯算子基于勒贝格测度（均匀质量分布），而分形上的拉普拉斯算子则基于分形测度（非均匀质量分布——即便 “鼓面”（定义域）为欧氏空间中的规则区域，非均匀质量分布仍会导致算子谱特征的显著变化。

这一研究的核心科学问题是 “谱逆问题”：能否通过拉普拉斯算子的谱（即 “鼓声” 的频率特征）反推分形测度的分布特征？“这一问题本质是算子理论与测度理论的交叉难题，难点在于分形测度的非绝对连续性与算子谱的不规则性。”

与欧氏空间中的普通拉普拉斯算子相比，分形诱导的算子谱具有 “多尺度性” 与 “非对称性”：谱序列的分布不仅依赖于定义域的几何特征，更与分形测度的局部密度密切相关，这使得其对应的 “振动模式”（特征函数）呈现更复杂的空间分布，为理解非均匀介质中的波动传播提供了数学模型。

3. 跨界应用：从基础理论到现实场景

倪思敏的研究始终注重 “理论深度与应用潜力的平衡”，其关注的分形几何核心概念（谱维数、热核估计）已展现出跨领域应用的可能性：

· 材料科学：火箭燃料的表面形态为典型分形结构，分形维数可量化燃料表面粗糙程度，进而优化燃烧效率与稳定性；

· 量子物理：通过谱维数推导的次高斯热核估计，揭示了分形测度定义区域中波动传播的 “无穷速度” 特征——这一与经典物理直觉相悖的结论，为信息传输的理论研究提供了新视角；

· 医学工程：除了肺癌诊断、婴儿扁头综合症评估，分形理论还为人体复杂器官的形态分析提供了量化的参数。

“基础数学的应用转化往往存在时间差，但理论的深度决定了应用的高度。” 他强调，无穷波动速度的实际应用仍需跨学科协作验证，但这一理论成果已为相关领域提供了新的研究范式——“用分形几何的视角重新审视非均匀系统的物理行为”。

4. 选题方法论：兴趣、特长与价值的统一

对于数学研究的 “选题艺术”，倪思敏提出 “三维筛选标准”：其一，兴趣驱动，选题需契合个人学术兴趣，这是长期深耕的内在动力；其二，特长匹配，基于自身知识储备（如泛函分析、测度理论）选择问题，避免脱离学术积累的 “无根基选题”；其三，学术价值，兼顾问题的基础性（对学科理论体系的完善作用）与前沿性（对跨领域研究的启发意义）。

他特别强调 “难以解决问题” 的研究价值：“部分基础数学问题（如高维分形的谱逆问题）短期内难以完全解决，但围绕这一问题开展的子问题研究、方法创新，仍能产出具有学术价值的成果，甚至为后续研究者提供关键思路。学术研究的价值不仅在于解决问题，更在于推动领域认知的边界拓展。”

科研范式与人生哲学：数学研究的内在逻辑

1. 思考模式：独立深耕与协作交流的辩证

倪思敏的科研模式体现了 “独立思考为核心，协作交流为补充” 的辩证关系。“数学研究的核心突破必须依赖个体的深度专注——分形几何的许多理论建构需要长时间的逻辑梳理与方法创新，这一过程无法通过集体讨论替代。” 他表示，独立思考的价值在于保持研究思路的连贯性与逻辑的纯粹性，避免被固有观点束缚。

而平静的学术交流则承担着 “视角拓展” 与 “逻辑校验” 的功能：“与不同背景的研究者讨论时，其提出的疑问或不同思路，往往能暴露自身思考的盲区——比如从概率角度看待分形测度问题，可能会发现分析方法难以触及的关键点。” 他强调，有效的学术交流应是 “理性探讨而非观点争执”，核心是围绕问题本身交换逻辑与方法，不断最求真理而非追求观点一致。

2. 心理特质：坚韧与平常心的双重支撑

在他看来，数学研究的长期坚持依赖 “抗挫折能力” 与 “结果平常心”。最让他感到学术满足的时刻，是 “核心难题的逻辑闭环形成之时”——这并非瞬间狂喜，而是 “长期积累后的水到渠成”：“分形几何的理论突破往往是渐进式的，可能是一个引理的证明、一种方法的创新，或是一个子问题的解决，这些小突破的积累最终形成完整的研究成果。”

这种 “渐进式突破” 决定了科研工作者需具备 “延迟满足” 的心理特质。他的日常科研节奏呈现 “高度自律与弹性平衡”：工作日以深度研究为主，聚焦理论推导与方法创新；周末及节假日优先处理家庭事务，剩余时间用于文献梳理、思路复盘或团队沟通。“教学与科研相互促进，指导博士生的过程也是充实自身知识体系的过程。”

3. 数学价值：学术纯粹性与现实关联性统一

当被问及 “分形几何对普通人的意义” 时，倪思敏区分了数学的 “学术价值” 与 “普及价值”：“分形思维作为抽象的数学工具，并非普通人的必备知识，但数学的逻辑思维与量化意识具有普适意义——比如72法则、复利率等经济数学概念，能帮助人们更好地把数学应用在现实生活中。”

在学术层面，他认为优秀数学家的核心品质是 “学术传承与理论创新的统一”：“真正的学术大师既要深刻理解经典理论的核心逻辑（站在巨人肩膀上），又要具备突破传统框架的勇气与能力（创建新理论），通过解决关键难题推动学科发展。” 这种 “传承—创新” 的辩证关系，正是分形几何领域的发展脉络——从曼德博的开创性思想，到后续学者对分形维数、分形测度与分形微分方程的深入研究，本质上是对经典数学理论的拓展与重构。

学术传承与平台邀约

对于有志于投身分形几何研究或加入 BIMSA 的青年学者，倪思敏提出三点建议：其一，夯实基础，系统掌握数学分析、测度理论、拓扑学等核心课程，数学研究的深度依赖基础理论的厚度；其二，保持好奇，分形几何的魅力在于其与自然、物理、工程、医学、金融等领域的广泛关联，对跨领域问题的好奇心是发现新方向的关键；其三，耐受挫折，基础数学研究周期长、突破难度大，需以平和心态看待试错与失败，将其视为学术成长的必要过程。

谈及 BIMSA 的平台优势，他总结为 “学术引领、资源集中、生态开放” 三大核心：“丘成桐先生的学术视野为研究院指明了前沿方向，顶尖学者的汇聚形成了高质量的学术交流氛围，而丰富的学术活动、充裕的科研经费与开放的协作机制，则为青年学者提供了快速成长的土壤。”

从高中时期对数学挑战的向往，到如今成为分形几何领域的资深研究者，倪思敏的学术历程印证了基础数学研究的核心逻辑——“以严谨求真理，以坚韧破难题”。在 BIMSA 的学术沃土上，他与团队正持续探索分形世界的数学秩序，既追求理论体系的完善，也期待为现实世界的复杂问题提供数学答案。未来，分形几何的跨领域应用仍有广阔空间，而许多像倪思敏这样的科研工作者，正是连接数学抽象与现实复杂的关键桥梁。