近日，北京雁栖湖应用数学研究院（BIMSA）代数几何团队在基础数学核心领域取得系列重要研究成果。由 BIMSA 院长丘成桐、研究员 Artan Sheshmani ，联合德国马克斯・普朗克数学研究所博士 Enno Keßler 、法国巴黎萨克雷大学教授 Dimitri Zvonkine 完成的研究论文《Super Gromov–Witten invariants via torus localization》正式发表于欧洲数学会旗舰期刊《Journal of the European Mathematical Society》（JEMS）；

另一篇由柳宇翔助理研究员、Artan Sheshmani 研究员与丘成桐院长合作完成的论文《Rigid Schubert Classes in Partial Flag Varieties》已被国际微分几何权威期刊《Journal of Differential Geometry》（JDG）接收。两项成果分别在超枚举几何与齐性空间形变理论领域建立了新的数学框架。

论文一：绕开传统技术障碍，建立超 Gromov-Witten 不变量严格定义

从左至右依次为作者 Enno Keßler、Artan Sheshmani、丘成桐、Dimitri Zvonkine

计数几何中的 Gromov-Witten（GW）不变量是现代数学的重要工具，它通过研究从黎曼曲面到目标空间的稳定映射，揭示空间内部深层的几何结构，同时也是镜像对称、辛几何以及弦理论等领域的核心数学语言。自 20 世纪 90 年代以来，GW 理论已成为连接代数几何、微分几何和理论物理的关键桥梁。

随着超对称理论的发展，物理学家预言存在一种更丰富的 "超" 版本 —— 超 Gromov-Witten 不变量。与经典 GW 不变量主要描述玻色自由度不同，超 GW 不变量同时包含玻色和费米贡献，被认为是超弦理论和超对称量子场论中的关键数学对象。然而，要建立严格的超 GW 理论面临着基础性困难：理想情况下需要首先构造超稳定映射的模空间，并发展相应的超几何相交理论和上同调理论，但尽管近年来超稳定曲线和超稳定映射模空间研究取得了重要进展，完整的超几何相交理论框架仍未建立。

面对这一挑战，BIMSA 研究团队采取了不同于传统路线的创新思路。论文提出了一种基于环面局部化的新框架，假设超稳定映射模空间中的 "奇（费米）方向" 满足特定的环面局部化性质，并以此为基础构造超 GW 不变量。这一方法无需首先建立完整的超几何相交理论，而是直接借助经典相交理论完成定义，成功避开了超几何相交理论尚未成熟所带来的技术障碍。

具体而言，研究团队将超 GW 不变量定义为沿求值映射拉回的同调类积分，并除以相应法向丛的等变欧拉类。整个构造完全建立在经典相交理论框架之内，同时证明了新定义的不变量满足 Kontsevich-Manin 公理的广义形式。Artan Sheshmani 教授表示："这一构造的关键在于相关超对称（SUSY）法向丛具有良好的几何性质。它们与遗忘映射和粘贴映射保持兼容，从而保证了这些新定义的不变量能够形成自洽的理论体系。"

基于这些性质，研究团队进一步证明，超 GW 不变量能够用于构造超小量子上同调环 —— 这是超 Gromov-Witten 理论中的核心代数结构之一。除了理论构造之外，研究团队还展示了该框架的可计算性：以复射影空间 ℙⁿ 为例，利用环面局部化方法对若干零亏格、度数 1 曲线情形下的超 GW 不变量进行了显式计算，并给出了低维度和少标记点情况下的具体结果。

研究团队认为，这项工作为超枚举几何建立严格数学框架迈出了重要一步。通过利用环面局部化思想绕开尚未成熟的超几何相交理论，该方法使超 Gromov-Witten 不变量能够在现有数学工具下被定义和计算，同时也为超弦理论、镜像对称以及超对称几何中的相关问题提供了新的研究基础。

论文二：建立经典型部分旗式变量 Schubert 类刚性统一判定框架

Yuxiang Liu, Artan Sheshmani, Shing-Tung Yau, Rigid Schubert classes in partial flag varieties, Accepted by Journal of Differential Geometry (2026)

在代数几何中，旗簇是一类具有高度对称结构的基本齐性空间，而 Schubert 簇由关联条件刻画，是旗簇中一类重要的代数子簇。Schubert 类构成旗簇 Chow 环与上同调环的标准基，并在计数几何、表示论与代数组合等多个数学分支中发挥着基础性作用。

所谓 Schubert 类刚性问题，是指对于一个固定的 Schubert 类，任何表示该类的子簇是否必然是 Schubert 簇，即是否存在与给定 Schubert 簇有理等价的非 Schubert 子簇。这一性质对于理解旗簇的整体几何结构具有核心意义，并与计数几何中的形变问题密切相关。尽管在 Grassmann 流形及若干经典情形中已有重要进展，但在更一般的经典型部分旗簇中，该问题呈现出更加复杂的结构特征，并缺乏统一刻画。

BIMSA 研究团队针对经典型部分旗簇中的 Schubert 类刚性这一长期开放问题开展了系统性研究，在 A 型部分旗簇、B/D 型正交部分旗簇以及 C 型辛 Grassmann 流形与辛部分旗簇中，建立了统一的数值判定框架。该框架通过刻画 Schubert 指标上的数值条件以及本质关联条件之间的兼容关系，能够有效判定任意给定 Schubert 类的刚性性质，并实现对经典型情形中刚性现象的系统性描述。

在方法层面，研究的核心创新在于利用自然投影映射 $\pi_t: F(d_1,\dots,d_k;n) \to G(d_t,n)$，将部分旗簇中更复杂的几何结构归约至 Grassmann 流形中的已知刚性问题，并追踪不同层级上关联条件的行为及其兼容关系。同时，研究还构造了一个新的本质指标偏序结构，用于刻画不同关联条件之间的兼容性及其组合模式，从而将分散的局部数值条件组织到一个统一的整体框架之中。

对于正交部分旗簇，非各向同性关联条件的存在导致了额外的复杂性。研究通过引入一种新的关系结构，系统描述了非各向同性关联条件之间的相互约束，并将其纳入统一的分析框架。在辛型情形中，论文进一步给出了若干显式构造结果，并阐明了辛部分旗簇与辛 Grassmann 簇之间的投影关系。

此外，研究还系统讨论了 "多重刚性 " 现象：某些 Schubert 类不仅本身具有刚性，而且该类的任意正整数倍都只能由 Schubert 簇的并集表示。这一性质揭示了 Schubert 类在 Chow 环结构中的内在稳定性。同时，该研究构造并分析了一类不可光滑化的 Schubert 类，为代数簇奇点理论与光滑化问题提供了新的典型例子。

总体而言，该工作在经典型部分旗簇中建立了一套从 Grassmann 流形到更一般旗簇的系统性分析方法，将数值判定准则、归约技术与子指标组合机制统一纳入同一理论框架，为理解 Schubert 类在齐性空间中的形变行为提供了新的工具与视角。